تاریخچه بی نهایت

بعضی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در کتب مقدس هند باستان مطرح شده.اما میتوان گفت که اولین کار جدی در مورد بی نهایت در یونان قدیم و توسط اقلیدس در بررسی اعداد اول بود.اقلیدس در کتاب “اصول” خود هرچند مستقیما نامی از بی نهایت نمیبرد.اما بطور ضمنی به ان اشاره میکند..اقلیدس ثابت میکند که تعداد اعداد اول از حاصلضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگتر است و این عملا به این معناست که تعداد اعداد اول بی نهایت است.

پس از اقلیدس پژوهش بوسیله سایر ریاضی دانان ادامه یافت تا اینکه در ۱۶۵۹ جان والیس ریاضی دان انگلیسی در کتاب خود با نام
“رساله ای درباره مقاطع مخروطی”برای نخستین بار نماد را برای نشان دادن مفهوم بینهایت وارد ریاضیات کرد.
برخی معتقدند این نماد ریشه در متون باستانی کهن دارد چرا که مشابه چنین نمادی بر دیوارهای غارهایی در تبت هم یافت شده بود.برخی نیز ریشه انرا در متون کیمیاگری میدانستند که در نوشته های رمزی خود از ان به سمبل جاودانگی نوشته میشد.برخی نیز تصور میکنند که این نماد از شکل نماد موبیوس گرفته شده اما این تصور نمیتواند درست باشد چرا که جان والیس ۲۰۰سال پیش از موبیوس زندگی میکرده.بنابر نظر محققان تاریخ ریاضی والیس این نماد را از نماد عدد ۱۰۰۰ یونانی در سیستم عدد نویسی یونانی که خود از سیستم عدد نویسی اتوریایی ریشه گرفته اخذ کرده است.
در این سیستم عدد نویسی از نمادCI برای نشان دادن عدد ۱۰۰۰ که بعضا معنای” خیلی زیاد” هم میداده استفاده میشده است.البته یک حدس دیگر هم این است که نماد بی نهایت از امگا نشات گرفته باشد.

با اغاز عصر جدید پژوهش درباره بینهایت همچنان ادامه یافت.در این دوران لایبنیتز و نیوتن برای نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام “بینهایت کوچک “در عرصه ریاضیات پرده برداشتند.بینهایت کوچک که عملا از همان” بی نهایت “مشتق گرفته شده عددی مثبت است که از هر عدد مفروض دیگری کوچک تر است به این ترتیب بینهایت و بینهایت کوچک پایه های عرصه بدیعی در دیفرانسیل و انتگرال را شکل دادند و این گونه بود که بینهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد

 

فراتر از بینهایت

در حالی که اغلب دانشمندان و مهندسان تنها به کاربردهای بینهایت بسنده کرده بودند.تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرار امیز همچنان ادامه یافت.در سال ۱۸۷۴ جورج کانتور روسی-المانی به کشف حیرت انگیزی رسید.اینکه اگرچه بینهایت,بینهایت بزرگ است
ولی با این حال بزرگتر از ان هم وجود دارد.این کشف فوق العاده عجیب بود چرا که میدانیم بی نهایت از هر عددد قابل تصوری بزرگتر است
پس چگونه بزرگتر از ان نیز هست؟در پاسخ باید گفت چیزی که از بینهایت بزرگتر باشد اول از همه خودش باید بینهایت باشد.بنابراین
درواقع کانتور کشف کرد که بعضی از بینهایت ها از بعضی دیگر بزرگترند.

چگونه؟

پاسخ به شاخه ای از ریاضیات برمیگردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه بعنوان نظریه مجموعه ها شناخته میشود.
هر مجموعه از تعدادی عضو تشکیل شده است.تعداد اعضای مجموعه های متناهی قابل شمارش اند.به عنوان مثال مجموعه ای که اعضای ان ۲,۳,۵ ۷,هستند ۴عضو دارد اما مجموعه های نامتناهی نظیر اعداد حقیقی.اعداد طبیعی و…. هم وجود دارند که بینهایت عضو دارند.

کانتور برای مقایسه تعداد اعضای این مجموعه های بینهایت عضوی یا به عبارتی بینهایت ها از روش جالبی استفاده کرد.در حالتی که میخواهیم تعداد ۲مجموعه-مثلا تعداد سیب و پرتقال های موجود در ۲جعبه را مقایسه کنیم ابتدا اعضای هرکدام را شمرده سپس مقایسه میکنیم که کدام بزرگتر است.
اما برای این مقایسه راه دیگری وجود دارد که ابتدا یک سیب از جعبه اول برداشته سپس به ازای ان یک پرتقال از جعبه دوم برداریم و کناری بگذاریم و این کار را همینگونه ادامه دهیم
در نهایت اگر هرکدام اضافه امد معلوم میشود که تعدادش بیشتر بوده و این دقیقا همان کاری بود که کانتور مکرد
برای مثال او توانست ثابت کند که مابین اعداد بینهایت عضوی طبیعی و بینهایت عضوی زوج تناظر یک به یک وجود دارد
(یعنی ۱ را با۲و۲را با ۳ و ……nرا با ۲n) در نظر گرفت بدون انکه عضوی اضافه بیاید.کانتور ثابت کرد که این دو بینهایت دقیقا هم اندازه هستند
او همچنین با این روش توانست ثابت کند که بینهایت به اضافه ۱,بینهایت ضربدر ۲ و حتی به توان ۲ نیز همگی با هم برابرند

 

اعداد ترامتناهی

کانتور با روش هوشمندانه خود توانست ثابت کند تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضوی اعداد حقیقی از تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضوی اعداد طبیعی بیشتر است!به عبارتی ان بی نهایت از این یکی بزرگتر است!
از همه عجیب تر انکه کانتور توانست نشان دهد که نه تنها بینهایتی بزرگتر از بینهایت اعداد طبیعی وجود دارد,بلکه از آن بزرگتر نیز هست!برای همین کانتور نماد بینهایت را تنها برای نشان دادن مفهوم آن کافی ندانست.زیرا این نماد نمیتوانست مشخص کند که ما با بینهایتی بزرگ سرو کار داریم یا کوچک!برای همین کانتور نمادگذاری جدیدی را برای نشان دادن بینهایت ها مورد استفاده قرار داد.دراین نمادگذاری که بینهایت اعداد طبیعی که کوچکترین بینهایت است!-با نماد(۰א)نمایش داده میشود که א همان حرف” الف “در زبان عبری است.(بنابراین אصفر بصورت الف- صفر خوانده میشود) او به همین ترتیب بینهایت های بزرگتر را با حرفאدو(الف-۲)و …نشان داد.

کانتور اعداد א را اصطلاحا اعداد ترامتناهی(Transfinite)نامید.در نماد گذاری کانتور اعداد متناهی در واقع میزان بزرگی بینهایت ها را نشان میدهد.پیدا کردن حاصل جمع این بینهایت ها بسیار ساده است.چرا که مجموع انها اغلب برابر بزرگترین انهاست.به عنوان مثال به موارد زیر توجه کنید:
۰א+۱א=۱א
۱א*۰א=۱א
۳۴۶א*۱۲۰א=۳۴۶א
همانطور که دیده میشود بینهایت های بزرگتر انقدر از بینهایت های کوچکتر بزرگتر هستند که وقتی با انها جمع میشوند یا ضرب میشوند عملا هیچ تغییری نمیکنند.
ساهارون شلا(Shelah) ریاضی دانی بود که از دهه ۸۰ کاوش در مورد بینهایت ها را اغاز کرد.بعنوان مثال او میخواست بداند که اگر بینهایت ها را بینهایت مرتبه و تا مرتبه بینهایت ام در همدیگر ضرب کنیم,بینهایت حاصل چقدر بزرگ خواهد بود و ایا بازهم بینهایتی بزرگتر از آن وجود دارد؟
بنابراین شلا میخواست حاصل ضرب زیر را پیدا کند:
۰א*۱א*۲א*…….
فکر میکنید بینهایت حاصل از عبارت فوق چقدر بزرگ باشد؟شلا ثابت کرد که پاسخ قطعا کوچکتر از ۴אא(الف-الف۴)خواهد بود.بنابراین شلا توانست ثابت کند که چنانچه بینهایت ها را بینهایت مرتبه و تا مرتبه بینهایت ام در همدیگر ضرب کنیم.حاصل بازهم بزرگترین بینهایت نبوده و یاز هم از ان بزرگتر نیز هست!!

اما با فکر کردن به این ویژگی های حیرت انگیز ناخوداگاه سوالی پیش میاید,اینکه ایا مفهوم حقیقی بینهایت در ذهن بشر میگنجد؟
متاسفانه پاسخ این پرسش منفی است.در واقع ریاضی دانان ثابت کردند که بسیاری ازین قبیل پرسش ها برای همیشه بی پاسخ میماند.
یکی ازین پرسش های بی پاسخ سوالی بود که توسط خود کانتور مطرح شد.او توانسته بود ثابت کند که تعداد اعضای مجموعه بینهایت عضوی اعداد حقیقی از طبیعی بزرگتر است و اینکه میخواست بداند ایا بینهایتی مابین بینهایت اعداد طبیعی و بینهایت اعداد حقیقی وجود دارد؟
کانتور هیچگاه نتوانست پاسخی برای این پرسش خود پیدا کند تا اینکه یک قرن بعد ریاضی دانان ثابت کردند که یافتن این پرسش برای بشر امکان ناپذیر است و تا ابد بی پاسخ خواهد ماند
به این ترتیب هرچند تحقیق در مورد ویژگی های بینهایت تا سالیان سال همچنان ادامه خواهد یافت اما در هر صورت اندیشه بشر هیچگاه به غایت این مفهوم اسرار امیز پی نخواهد برد.