به منظور تعریف و معرفی مشتق جهتی یا سویی ابتدا به تعریف مفهوم گرادیان و نرم بردار می‌پردازیم.
محاسبه گرادیان تابع f :
فرض کنید W=f(x,y,z) تابع سه متغیره باشد در آن صورت گرادیان f را با f∇ نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:
همانطور که در تعریف ریاضی گرادیان می‌بینید برای محاسبه گرادیان یک تابع چند متغیره نیاز به مفهوم مشتق جزئی یا پاره‌ای داریم.
نرمال سازی بردار b:
اگر بردار b در فضای سه بعدی با ضرایب β، α و γ باشد (حروف یونانی به‌ترتیب از راست آلفا، بتا و گاما) آنگاه نرم بردار b از روش زیر محاسبه می‌شود:
مشتق جهتی تابع f در جهت بردار b از گام‌های زیر تشکیل شده است:
گام اول: ابتدا بردار b را نرمال‌سازی میکنیم یعنی هر بردار ناصفر را می‌توان با تقسیم کردن بر نرمش به یک بردار واحد تبدیل کرد اسم بردار حاصل از نرمال‌سازی را u می‌نامیم:
گام دوم: گرادیان تابع f را از فرمول گرادیان محاسبه میکنیم.
گام سوم: از ضرب داخلی بردار u در گرادیان f مشتق جهتی تابع f در جهت بردار b حاصل می‌شود:
محور مختصات یا صفحه دکارتی: در شکل زیر محور مختصات در صفحه y ،x و z به همراه بردارهای یکه (بردارهای واحد) نمایش داده شده است.
قانون ضرب داخلی: ضرب داخلی بردارهای یکه در سه جهت محور y، x و z از قانون زیر تبعیت می‌کند.
مثال حل شده: مشتق جهتی یا سویی تابع سه متغیره w=f(x,y,z) را در مبدا مختصات و در جهت بردار b محاسبه کنید.
گام‌های مشتق جهتی را به ترتیب اجرا میکنیم:
گام اول: محاسبه بردار واحد u
گام دوم: محاسبه گرادیان تابع f
گام سوم: محاسبه مشتق جهتی با ضرب داخلی گرادیان f در بردار یکه u
مثالی دیگر: مشتق جهتیf را در جهت بردار b در نقطه A=(1,1,0) محاسبه کنید.
با تکنیکی که در مثال قبل بکار بردیم مساله را حل میکنیم
گام اول: محاسبه بردار واحد u
گام دوم: محاسبه گرادیان تابع f
گام سوم: محاسبه مشتق جهتی با ضرب داخلی گرادیان fدر بردار یکه u
