در دنیای ماتریس‌ها اعداد حقیقی صفر بعدی، بردارها یک بعدی و ماتریس‌ها دو بعدی هستند و ابعاد بالاتر مربوط به تنسورها می‌باشد.

بردار سطری و ستونی:

یک بردار ستونی شامل ۴ سطر: 

یک بردار سطری شامل۴ ستون:

ماتریس : آرایه ای مستطیلی از اعداد هست که این اعداد در سطرها و ستون هایی به‌طور منظم قرار گرفته‌اند.

در شکل زیر یک ماتریس ، تعداد سطرها، تعداد ستون ها و درایه های آن نمایش داده شده است.

اگر ماتریس دارای m سطر و n ستون باشد می گوییم ماتریس m×n  است. هر عضو یک ماتریس را درایه آن ماتریس می گویند. یک درایه از ماتریس A را در حالت کلی به شکل زیر  نمایش می دهند.

ماتریس A را در حالت کلی به این صورت نمایش می‌دهند.

 

ماتریس‌ها را معمولا با حروف بزرگ انگلیسی (…,A, B) و درایه‌های آن را با حروف کوچک  (…,a, b) نمایش می‌دهیم. همچنین، بردارهای سطری و ستونی را با حروف کوچک انگلیسی نمایش می‌دهیم.

مثال: فرض کنید A  یک ماتریس  است که در آن درایه واقع در سطر اول و ستون دوم آن ۴  و درایه واقع در سطر دوم و ستون دوم برابر ۹ است.

یعنی درایه واقع در سطر i ام و ستون j ام:

 

ماتریس ها به چه درد می خورند؟  درفیزیک به‌منظور نمایش ماتریسی برای ساده کردن محاسبات و در ریاضیات برای نمایش گراف .

ماتریس مربعی:

اگر در ماتریس m×n تعداد سطر و تعداد ستون‌ها برابر باشند یعنی  m=n آنگاه یک ماتریس مربعی از مرتبه n یا مرتبه m داریم.

  مثال: یک ماتریس مربعی مرتبه ۴

ماتریس مربعی از مرتبه ۳

تمرین: اگر ماتریس B به صورت

باشد ماتریس B را بدست آورید.

جواب: ماتریس B یک ماتریس است که درایه‌های آن از تابع دو ضابطه‌ای بالا به‌دست می‌آیند، که i نشان دهنده سطرi ام و j نشان دهنده ستون j ام ماتریس B

می‌باشد. طبق ضابطه اول اگر شماره ستون بزرگتر یا مساوی شماره سطر باشد شماره سطر و شماره ستون را با هم جمع می‌کنیم و در ضابطه دوم اگر شماره سطر از شماره ستون بزرگتر باشد شماره ستون را از شماره سطر کم می‌کنیم. اعداد حاصل از دو ضابطه جواب بدست آمده برای درایه‌های ماتریس هستند.

بدین شکل درایه‌های ماتریس محاسبه می‌شوند آن‌ها را در ماتریس B جایگذاری می‌کنیم:

مثال :   اگر ماتریس A به صورت

باشد ماتریس A را بدست آورید.

جواب: اکنون ماتریس A را با تکنیک زیر محاسبه می‌کنیم:

قطر اصلی ماتریس:

قطر اصلی تنها برای ماتریس های مربعی تعریف می شود و شامل درایه‌هایی  است که در آن i=j  است.

در شکل زیر قطر اصلی و قطر فرعی یک ماتریس  ۳×۳ نمایش داده شده است.

ماتریس قطری: ماتریس مربعی که درایه های غیرقطر اصلی آن صفر باشد ماتریس قطری نام دارد.

نکته: ماتریس قطری می تواند در قطر اصلی صفر هم داشته باشد.

 مثال: یک ماتریس قطری که درایه‌های قطر اصلی آن اعداد ۱، ۸ و ۳ می‌باشد.

ماتریس بالا مثلثی: ماتریس مربعی که در آن تمام درایه های زیر قطر اصلی صفر باشد.

ماتریس پایین مثلثی: ماتریس مربعی که در آن تمام درایه های بالای قطر اصلی صفر باشد.

نکته: ماتریس های مثلثی تنها در ماتریس های مربعی اتفاق می افتند.

ماتریس همانی:

ماتریسی است مربعی از مرتبه n که آن را با I یا In  نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم (داخل براکت حرف یونانی دلتا قرار داد که به آن دلتای آی و جی می‌گوییم ).

  ماتریس همانی مرتبه سه:

برای هر ماتریس مربعی A از مرتبه n داریم.   A×I=I×A=A

در واقع ماتریس همانی I  نقش عضو خنثی در ضرب ماتریس‌ ها را دارد و همانطور که می‌بینید خاصیت جابجایی استثناً در این حالت برقرار است.