ماتریس معکوس

اگر B و A دو ماتریس مربعی باشند ماتریس B را معکوس ماتریس A گوییم اگر A×B=B×A=I  که I ماتریس همانی می‌باشد و معکوس ماتریس A را با A به توان ۱-  نشان می دهیم :

شرط اینکه ماتریس A وارون پذیر باشد این است که دترمینان آن مخالف صفر باشد یعنی: ۰ ≠ |A| (علامت قدرمطلق نشان‌دهنده دترمینان است).

ماتریس کهاد:

برای محاسبه ماتریس کهاد برای هر درایه کافی‌است سطر و ستون مرتبط با آن درایه را نادیده گرفت و دترمینان درایه های باقی مانده که یک ماتریس دو در دو را نمایش می‌دهند بدست آورد این کار را برای همه درایه‌ها انجام می‌دهیم.  طریق محاسبه ماتریس کهاد برای درایه واقع در سطر اول و ستون اول نمایش داده شده است.  ماتریس‌های کهاد برای باقی درایه‌ها به همین شکل با حذف سطر و ستون متناظر با آن درایه محاسبه می‌شوند.

ماتریس همسازه:

برای محاسبه ماتریس همسازه کافی است ماتریس‌های کهاد محاسبه شده در قسمت قبل را  در   ضرب کرد (این عدد برای هر ماتریس کهاد با توجه به اندیس آن منحصر به فرد می‌باشد)

های بدست آمده را در یک ماتریس سه در سه جایگذاری می‌کنیم که به این ماتریس، ماتریس همسازه می‌گویند.

ماتریس الحاقی:

ترانهاده ماتریس همسازه ماتریس الحاقی نام دارد که با  نمایش می‌دهند.

     

طریقه محاسبه معکوس ماتریس ۳×۳  :

برای محاسبه معکوس یا وارون ماتریس  ابتدا دترمینان آن را محاسبه می‌کنیم اگر دترمینان ماتریس مخالف صفر شد ( ۰ ≠ |A|) آنگاه ماتریس وارون پذیر است حال مجاز هستیم وارون ماتریس را بدست آوریم.

اکنون ماتریس الحاقی محاسبه شده در قسمت قبل را در دترمینان ماتریس تقسیم می‌کنیم (یعنی تک تک درایه‌های ماتریس الحاقی را در عدد بدست آمده از دترمینان تقسیم می‌کنیم) ماتریس بدست آمده همان ماتریس معکوس یا وارون ماتریس نام دارد.

مثال : وارون ماتریس زیر را در صورت وجود بیابید.

جواب: ابتدا دترمینان ماتریس را محاسبه می‌کنیم: ۰ ≠ ۲-=|A|، اکنون چون دترمینان عددی مخالف صفر است ماتریس وارون پذیر است. ماتریس‌های کهاد و همسازه را محاسبه می‌کنیم:

سپس اعداد بدست آمده را در ماتریس همسازه جایگذاری می‌کنیم ترانهاده ماتریس همسازه، ماتریس الحاقی را نتیجه می‌دهد.

اکنون ماتریس وارون را به صورت زیر از ماتریس الحاقی و دترمینان محاسبه می‌کنیم:

مثال : وارون ماتریس زیر را در صورت وجود بدست آورید.

مثال : اگر  A  یک ماتریس باشد به ازای کدام مقدار a ماتریس  وارون پذیر است؟

پاسخ : زمانی یک ماتریس وارون پذیر است که دترمینان آن مخالف صفر باشد  پس ابتدا  را محاسبه و بعد از آن دترمینان میگیریم:

سپس از ماتریس بدست‌آمده دترمینان می‌گیریم: (در محاسبه دترمینان یک ماتریس دو در دو کافی است قطر اصلی را در هم ضرب و از حاصلضرب قطر فرعی تفریق کرد عدد بدست آمده همان دترمینان ماتریس است)

معادله درجه دو به دست آمده از جواب قبل را مساوی صفر قرار داده و با روش دلتا حل می‌کنیم (Δ) معادله هرگز صفر نخواهد شد زیرا    ۰>Δ  و معادله ریشه ندارد  بنابراین دترمینان ماتریس هرگز صفر نخواهد شد و ماتریس وارون پذیر می‌باشد. بنابراین به ازای هر مقدار a ماتریس  وارون پذیر است.

نکات مهم:  خواص جالب بین ترانهاده، معکوس و دترمینان ماتریس‌ها

نتیجه ۱:  شرط اینکه ماتریس مربعی A وارون پذیر باشد این است که:    ۰ ≠ |A|

نتیجه ۲:  محاسبه ماتریس وارون یک ماتریس  ۲×۲

در این حالت کافی است جای قطر اصلی را عوض کنیم و قطر فرعی را در ۱- ضرب کنیم و آن را بر دترمینان ماتریس A تقسیم کنیم

نتیجه ۳ :  محاسبه ماتریس الحاقی با استفاده از فرمول ماتریس معکوس

نتیجه ۴:   محاسبه دترمینان ماتریس الحاقی

مثال : درایه سطر اول و ستون سوم معکوس ماتریس زیر را بدست آورید.

جواب: بدین منظور باید درایه ماتریس الحاقی واقع در سطر سوم و ستون اول ماتریس A  (زیرا ماتریس الحاقی ترانهاده ماتریس همسازه می‌باشد)را در دترمینان ماتریس تقسیم کنیم

  دترمینان ماتریس را محاسبه می‌کنیم .

اکنون برای محاسبه درایه ماتریس الحاقی باید درایه ماتریس همسازه را بدست آورد که چون ماتریس الحاقی ترانهاده ماتریس همسازه می‌باشد جای سطر و ستون تعویض می‌شود (محاسبه سطر سوم و ستون اول ماتریس  همسازه A  = سطر اول و ستون سوم معکوس ماتریس A)